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卡特兰数经典例题

原题链接：栈

解决方法： Catalan Number

为何是卡特兰数？解释原理：

x为最后一个出栈的，可以将原来的栈分为两部分

简单记录快速幂原理

以a^11为例：

11的二进制数为1011，二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base *= base目的是累乘，以便随时对ans做出贡献。

要理解base *= base这一步：因为base * base == base ^ 2，下一步再乘，就是(base ^ 2) * (base ^ 2) == base ^ 4，然后同理(base ^ 4) * (base ^ 4) == base ^ 8，由此可以做到base base ^ 2 base ^ 4 base ^ 8 base ^ 16 base ^ 32…….指数正好是 2 ^ i 。再看上面的例子，a= (a ^ 1) * (a ^ 2) * (a ^ 8)，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。

什么是辗转相除法

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

From Baidu

辗转相除法递归式

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

此题最简单的方法，其实前面已经有大佬@SocietyNiu讲过了，就是用Python做一个简单的打表

步骤

1. 先输入打表后的数据
2. 输入数据
3. 输出表中的答案

参考博客

对于从1到N的连续整集合，划分为两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。因而，划分之后每个子集全的数字应该为n(n+1)/2的一半，即n(n+1)/4由于两个子集中都是整数，所以n*(n+1)必为偶数，则可以设s=n*(n+1),并判断s%4 .则，s/=4是划分之后子集合的数字和；dyn[i]数组表示任意个数加起来等于i的组数。**

河内塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)于1883年从泰国带至法国的，河内之塔为越战时北越的首都
，即现在的胡志明市；1883年法国数学家Edouar Lucas曾提及这个故事，据说创世纪时Benares有一座波罗教塔，
是由三支钻石棒所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小到大排列的金盘(Disc)，并命令僧侣将
所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，
则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将毁损，而也就是世界末日的来临之时。

解法：
如果柱子标为ABC，要由A搬至C，在只有一个盘子时，就将它直接搬至C，当有两个盘子，就将B当作辅助柱。如果
盘数超过两个，将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是：A->B，A->C，B->C这三个
步骤，而被遮住的部分，其实就是进入程式的递回处理。事实上，若有n个盘子，则先移动完毕所需次数为(2^n)-1，
所以当盘数为64时，则所需次数为(2^64)-1 = 18446744073709551615为5.05390248594782e+16年，也就是约5000
世纪，如果对这数字没什么概念，就假设每秒钟搬一个盘子好了，也要5850亿年左右。